Окончил Московскую государственную консерваторию имени П. И. Чайковского и Санкт-Петербургскую консерваторию имени Н. А. Римского-Корсакова по классу оперно-симфонического дирижирования (класс профессора В. А. Чернушенко).
В 1997 году дебютировал в театре опера и балета Санкт-Петербургской консерватории с оперой Моцарта «Cosi fan tutte».
В мае 1999 года Александр Сладковский был удостоен звания лауреата на III международном конкурсе имени С. С. Прокофьева.
В июне 2001 года в Эрмитажном театре дирижировал в концерте, данном в честь визита Ее Величества Королевы Нидерландов Беатрикс, а в мае 2003 года на торжественном открытии фонтанов Петродворца в рамках празднования 300-летия Санкт-Петербурга, в присутствии глав 46-ти государств. Указом Президента РФ награжден медалью «В память 300-летия Петербурга».
С октября 1997 по февраль 2001 года А. Сладковский дирижер симфонического оркестра Санкт-Петербургской государственной академической капеллы имени М. И. Глинки, а с мая 2001 по август 2003 года главный дирижер государственного театра оперы и балеты Санкт-Петербургской консерватории. В 2003 году был номинирован на премию «Золотой софит» как лучший дирижер года.
С августа 2002 года является художественным руководителем и главным дирижером Молодежной Филармонии России. В мае 2004 года назначен главным дирижером Санкт-Петербургской капеллы имени М. И. Глинки. За это время оркестры под управлением Александра Сладковского принимали участие в крупных международных и федеральных проектах и фестивалях: «Музыкальный Олимп», «Петербургская музыкальная весна», «Площадь Искусств» Юрия Темирканова, «Молодежные Академии России» фонда Александра Чайковского, «Родион Щедрин. Автопортрет», «Young Euro Classic» Berlin, Дни культуры Санкт-Петербурга в Алма-Аты с участием звезд оперы и балета Мариинского театра, музыкально театральный фестиваль «Почетные граждане Санкт-Петербурга юбилею города», XIII и XIII Пасхальный фестиваль, Schleswig Holstein Musik Festival.
В качестве приглашенного дирижера сотрудничал с Российским национальным оркестром, Государственным академическим оркестром России, Большим симфоническим оркестром им. П. И. Чайковского, Заслуженным коллективом России академическим симфоническом оркестром Санкт-Петербургской филармонии, с оркестрами Московской, Ульяновской, Томской и Ростовской филармонии и с симфоническим оркестром Нижней Саксонии.