Алексей Богорад родился в 1979 г. в Москве. Окончил Центральную музыкальную школу, а затем Московскую консерваторию и аспирантуру по классу кларнета у профессора Владимира Соколова. Лауреат международных конкурсов. Являлся стипендиатом программы «Новые имена». В 1997 г. поступает в оркестр Большого театра. За годы работы в крупнейшем театре России в качестве солиста-концертмейстера группы кларнетов Алексей получил бесценный опыт работы с различными дирижерами и певцами, исполняя оперы Моцарта, Верди, Пуччини, Массне, Вагнера, Чайковского, Мусоргского, Римского-Корсакова, Бородина, а так же весь балетный репертуар прославленного театра.

С 2001 г. - солист Российского Национального оркестра. Выступая на сценах лучших концертных залов мира, играл под руководством таких дирижеров, как Евгений Светланов, Мстислав Ростропович, Геннадий Рождественский, Юрий Темирканов, Валерий Гергиев, Владимир Юровский, Семен Бычков, Пааво Берглунд, Зубин Мета, Кент Нагано, Шарль Дютуа.

Логичным продолжением карьеры музыканта-исполнителя стало решение заниматься дирижированием. С 2004 г. брал уроки у профессора Фуата Мансурова в Казанской консерватории. В 2006 — 2009 гг. учился в Московской консерватории в классе профессора Геннадия Рождественского и окончил ее с отличием. Алексей Богорад работал в качестве ассистента дирижера в постановке оперы «Майская ночь» Н.А.Римского-Корсакова в Московском академическом театре им. К.С.Станиславского и В.И.Немировича-Данченко и оперы «Воццек» А.Берга в Большом театре России. Также в качестве ассистента дирижера проводил репетиции Российского Национального оркестра и оркестра Большого театра. Дирижировал симфоническим оркестром Республики Татарстан, Государственным академическим камерным оркестром России, камерным оркестром «Арпеджионе», симфоническим оркестром Московской консерватории, симфоническим оркестром г. Кадакес (Испания), Российским национальным оркестром. В 2010 году получил степендию престижного фестиваля Американской Академии дирижирования в г.Аспен (США).

Осенью 2011 года Алексей Богорад получил первую премию V международного конкурса молодых дирижеров имени Ловро фон Матачича в Загребе.